Математика.5. Математическое моделирование

Дышлевич В.Л., Ивахненко Н.Н.

Донецкий национальный университет экономики и торговли

имени Михаила Туган - Барановского

Применение теории фракталов в экономике

Теория фракталов в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия фрактала пока не существует. Сейчас фрактал определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе. Непредсказуемость фракталов объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях. Поэтому, один из главных выводов теории фракталов, заключается в том, что будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные, в том числе, незнанием всех факторов и условий.

Теория фракталов широко применяется в экономике, для анализа финансовых рынков. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги. Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход из-за того, что цены на акции и облигации постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит: цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.

Так происходило до тех пор, пока американский финансист Чарльз Доу не опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период.

В середине двадцатого века другой известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов.

Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического анализа. Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.

Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры, а для противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений называют импульсным, а каждое из трехволновых - коррективным.

Волновая диаграмма Эллиота

Эллиот предположил, что каждая из только что показанных импульсных и коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму. В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Таким образом, Эллиот применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому, что рейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается импульсная волна.

К сожалению, само существование теории фракталов трудно совместимо с классической наукой. Однако, фракталы непредсказуемы, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью фракталов не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. На современном этапе еще не существует математически точного аппарата применения теории фракталов для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о фракталах нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

Литература:

1. Эрлих А. Технический анализ товарных и фондовых рынков, М: Инфра-М, 1996

2. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике, 2003